¿QUÉ ES UNA MATRIZ?
En general, una matriz es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular, trabajaremos exclusivamente con matrices formadas por números reales.
Por ejemplo, estas son matrices de diferentes dimensiones: Donde la matriz A es una matriz de 2×3 (2 filas y 3 columnas), la matriz B es una matriz de 3×2 (3 filas y 2 columnas) y la matriz C es una matriz de 3×3 (3 filas y 3 columnas). Las matrices son utilizadas en el álgebra lineal, una de las ramas del álgebra
MATRIZ INVERSA
Una matriz es inversa de otra cuando al multiplicar ambas (en cualquier orden) se obtiene la matriz identidad. Si se pueden multiplicar en cualquier orden deben ser matrices cuadradas (Anxn·A-1nxn=A-1nxn·Anxn=Inxn). Se puede observar también que si hacemos la inversa de la inversa se obtiene la matriz original.
Otra propiedad interesante es que la inversa del producto coincide con el producto de las inversas pero en orden inverso ([A·B]-¹ = B-¹·A-¹).
Observa que si la matriz A es de dimensión 1x1, su inversa está formada por el inverso del elemento de A.
Si la dimensión es superior, existen varias formas de hallar la matriz inversa. Aquí podemos ver dos formas:
Inversa por el método de Gauss. Este método consiste en:
- Escribir la matriz y adjuntar a su derecha la matriz identidad de la misma dimensión.
- Realizar las transformaciones de Gauss de forma sucesiva hasta conseguir que la matriz identidad quede a la izquierda. Caso de que no pueda conseguirse (toda una fila quede de ceros, por ejemplo), es porque la matriz no tiene inversa.
- La matriz resultante a la derecha será la inversa de la matriz dada.
Inversa por determinantes. Este método consiste en:
- Calcular el determinante de la matriz. (Si el determinante fuese 0, no existe la matriz inversa).
- Calcular la matriz adjunta.
- Calcular la matriz traspuesta de la obtenida en el paso anterior. (Este paso y el anterior son intercambiables).
- La matriz inversa se obtiene dividiendo cada elemento de la matriz del paso anterior entre el deteminante de la matriz dada (Calculado en el primer paso).
Observa, por tanto, que no todas las matrices tienen inversa:
- Las matrices que no son cuadradas no tienen inversa.
- Las matrices cuadradas cuyo determinante es 0 no tienen inversa.
- Sólo las matrices cuadradas cuyo determinante es distinto de 0 tienen inversa.