LA MATRIZ INVERSA 

¿Qué es una Matriz Inversa?

Las matrices son una herramienta valiosa en todas las ramas de las matemáticas, pero, sobre todo, lo son cuando son matrices inversibles (es decir, con inversa). Existen muchos y diversos métodos para la obtención de la matriz inversa, cada uno de ellos con sus ventajas y desventajas. 

Una matriz es inversa de otra cuando al multiplicar ambas (en cualquier orden) se obtiene la matriz identidad. Si se pueden multiplicar en cualquier orden deben ser matrices cuadradas .

Se puede observar también que si hacemos la inversa de la inversa se obtiene la matriz original. Otra propiedad interesante es que la inversa del producto coincide con el producto de las inversas pero en orden inverso ([A·B]-¹ = B-¹·A-¹).

Observa que si la matriz A es de dimensión 1x1, su inversa está formada por el inverso del elemento de A.

METODO DE COFACTORES O ADJUNTOS

Sea A una matriz de dimensión mxm. La matriz adjunta A, A*, es una matriz de la misma dimensión. El elemento de la posición fila y columna de matriz adjunta de A (llamado cofactor de la posición ( i, j ) sería: ((-1)^i+j * |A ij|. Siendo la matriz A la submatriz de A obtenida al eliminar la fila i y la columna j de A.

En otras palabras, una matriz adjunta es el resultado de cambiar el signo del determinante de cada uno de los menores de la matriz original en función de la posición del menor dentro de la matriz.  

ELIMINACION GAUSSIANA

El método de Gauss-Jordan utiliza operaciones con matrices para resolver sistemas de ecuaciones de n número de variables. Para aplicar este método solo hay que recordar que cada operación que se realice se aplicará a toda la fila o a toda la columna en su caso. El objetivo de este método es tratar de convertir la parte de la matriz donde están los coeficientes de las variables en una matriz identidad. Esto se logra mediante simples operaciones de suma, resta y multiplicación.

En esta sección desarrollamos un método para resolver un sistema general de ecuaciones lineales AX = B de N ecuaciones con N incógnitas. El objetivo es construir un sistema triangular superior equivalente UX = Y que podamos resolver usando el método de sustitución regresiva. Se dice que dos sistemas de orden N son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto de soluciones. Los teoremas del álgebra lineal prueban que hay ciertas transformaciones que no cambian el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.

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